Sosigenes

Introduction

Le m\’ecanisme de formation de structures \`a grande \’echelle, comme les galaxies, est d’un grand inter\^et pour la cosmologie.
Certaines hypoth\`eses sur cette formation sont tr\`es difficiles \`a v\’erifier exp\’erimentalement.

Un des sc\’enarios possible implique la cr\’eation de d\’efauts topologiques.
Apr\`es le big bang, au temps de $10^{-34}s$, l’univers naissant a subi une ou plusieurs transitions de phase qui ont engendr\’e des brisures de sym\’etrie transformant des \’etats ordonn\’ees en \’etats desordonn\’ees.
On a \’emis l’hypoth\`ese que ces transitions de phase ont provoqu\’es les d\’efauts topologiques et l’inflation de l’univers.
\footnote{Les d\’efauts topologiques sont de quatre types: d\’efauts ponctuels (monopoles), d\’efauts lin\’eaires (cordes), d\’efauts superficiels (“domain walls”), et finalement les “textures”.}

Une forme particuli\`erement int\’eressante de d\’efauts est les d\’efauts lin\’eaires, soit les cordes cosmiques.
Les cordes cosmiques se forment quand il y a une brisure de sym\’etrie axiale ou cylindrique.
Zel’dovich\footnote{Zel’dovich, Ya.B., Kobzaryev, I.Yu. \& Okun, L.B., {\it Zh. eks. teor. Fiz.} {\bf {67}} (1974)} a propos\’e que les cordes cosmiques produisaient des perturbations de densit\’e qui pouvaient servir de germes pour la condensation gravitationnelle de la mati\`ere.
Cette id\’ee a \’et\’e d\’evelopp\’ee par Vilenkin\footnote{Vilenkin, A., {\it Phys. Rev. Lett.} {\bf{46}}, 1496 (1981)}${}^,$ \footnote{Vilenkin, A., {\it Phys. Rev.}, {\bf {24}}, 2082 (1981)} et Kibble\footnote{Kibble, T.W.B., {\it J. Phys {\bf {A 9}}}, 1387, (1976)}.
La densit\’e de cordes est l’unique grandeur exp\’erimentale que l’on puisse mesurer qui nous renseigne sur l’\'evolution du champ de Higgs juste apr\`es le big bang, qui nous aide \`a simuler la formation des galaxies.

Les syst\`emes quantiques hors \’equilibre en mati\`ere condens\’ee sont les plus appropri\’es \`a l’\'etude ph\’enom\’enologique, parce qu’ils sont maniables dans un laboratoire.
La majorit\’e des syst\`emes qu’on \’etudie (supraconducteurs, superfluides, alliages binaires) parviennent dans leurs \’etats antisym\’etriques \`a travers d’une transition du deuxi\`eme ordre.
Le seul syst\`eme \’etudi\’e exp\’erimentalement pour la formation des d\’efauts topologiques qui subit une transition de phase du premier ordre sont les cristaux liquides dans la phase n\’ematique.

Parmi ces nombreux candidats, le syst\`eme ad\’equat pour comprendre la dynamique de formation des d\’efauts est le ${}^4He$.
La raison en est simple: le ${}^4He$ ne peut produire qu’un seul type de d\’efaut, les tourbillons.
Lors de la transition du deuxi\`eme ordre entre ${}^4He$ normal (HeI) et ${}^4He$ superfluide (HeII), qui peut \^etre tr\`es rapide lors d’une d\’ecompression rapide, le groupe de sym\’etrie $U(1)$ est bris\’e et on observe des d\’efauts topologiques en forme de filaments tourbillonnaires.
Les tourbillons quantifi\’es peuvent \^etre assimil\’es \`a au moins un type de cordes cosmiques.
Ainsi le ${}^4He$ est un “laboratoire” qui nous permettra de v\’erifier nos hypoth\`eses sur la formation des cordes cosmiques.

\section{La formation des d\’efauts}
Revenons \`a la question de la densit\’e des cordes apr\`es la transition.
Un sc\’enario de formation de cordes cosmiques a \’et\’e propos\’e par Kibble\footnote{Kibble, T.W.B., {\it J. Phys {\bf {A 9}}}, 1387, (1976)} en 1976.
On appelle ce sc\’enario le “m\’ecanisme de Kibble” et il postule que la cr\’eation des cordes cosmiques implique le aggrandissement du champ de Higgs $\Phi$ lors d’une transition de phase hors-\’equilibre rapide induite par la chute de temperature de l’Univers en expansion.
Apr\`es la transition de phase, le champ prend des valeurs non-nulles, mais avec un d\’ecalage de phase entre diverses r\’egions s\’epar\’ees par l’horizon de causalit\’e qui est plus petit ou \’egal \`a $ct.$
Les d\’efauts lin\’eaires se forment sur les bords de ces r\’egions car si on suit un circuit ferm\’e (tel que sur la figure 1), on remarque que la phase change de $2 \pi n,$ $n$ entier.
On dit que le champ est nul au moins une fois dans le circuit, donc il existe au moins un d\’efaut par circuit.

\centerline{\includegraphics[width=10cm]{domainii}}

\centerline{\caption{Fig. 1 La formation de cordes selon le m\’ecanisme de Kibble.}}

L’inconv\’enient du m\’ecanisme de Kibble est qu’il ne nous donne pas l’\'echelle \`a laquelle la formation des d\’efauts appara\^{\i}t.
Il d\’epend en effet de la temp\’erature comme crit\`ere, ce qui est incompatible avec un syst\`eme hors-\’equilibre.
Kibble avait de plus postul\’e que la densit\’e de d\’efauts serait d\’etermin\’ee par la longueur de corr\’elation du champ $\xi_G$ \`a $T_G \simeq 1.5K$, la temp\’erature de Ginzburg.
L’enchev\`etrement de cordes g\`ele dans une configuration stable \`a $T_G$, les fluctuations thermiques n’\'etant plus suffisamment fortes pour reconfigurer les d\’efauts.

L’autre hypoth\`ese s’appelle le “sc\’enario de Zurek” \cite{Zurek:1991}, qui s’applique seulement aux transitions du deuxi\`eme ordre.
Il faut pr\’eciser que le m\’ecanisme de Kibble reste valable pour les deux types de transition de phase, tandis que le sc\’enario de Zurek est valable uniquement pour les transitions du deuxi\`eme ordre.

L’essentiel du sc\’enario de Zurek est que la densit\’e de d\’efauts va d\’ependre de la vitesse \`a laquelle la transition de phase se produit.
Le champ va \^etre incapable de s’“adapter” compl\`etement pendant le passage dans le r\’egion de transition et l’\'echelle temporelle, pendant laquelle le champ reste dans ce r\’egime indefini, va d\’eterminer la longeur de corr\’elation $\xi(T_Z)$ et la densit\’e de d\’efauts.\footnote{$T_Z$ est la temperature de Zurek, la temperature \`a laquelle l’adaptation du champ ralenti.}
Autrement dit, la densit\’e de d\’efauts va \^etre plus petite (grande) si le temps de passage par la r\’egion de transition, $\tau_Q$, est plus long (court).

L’id\’ee de Zurek \’etait d’utiliser le ${}^4 He$ pour simuler la formation des cordes et de nous fournir des informations sur la taille de l’horizon de causalit\’e form\’e lors du gel des d\’efauts.
Son raisonnement \’etait que si on fait subir \`a un \’echantillon de ${}^4 He$ une transition $\lambda$,
on peut indirectement observer la densit\’e de d\’efauts en mesurant le secon son.\footnote{c.f. plus loin.}

Pour v\’erifier le sc\’enario de Zurek\footnote{Zurek, W. H., {\it Nature} {\bf 317} 505-508 (1985)}, une exp\’erience \`a \’et\’e mont\’ee a Lancaster University\footnote{Hendry, P.C. et al., {\it Nature} {\bf 368} 315-317 (1994)}.
Un \’echantillon d’ ${}^4He$ de $10^{-3}\, kg$ de haute puret\’e (pour assurer que les d\’efauts n’\'etaient pas d\^us \`a la nucl\’eation des impuret\’es) \’est plac\’e dans un soufflet fait d’un alliage phosphore-bronze. Le soufflet est comprim\’e et on laisse \’echantillon atteindre l’\'equilibre thermique avant de rel\^acher le soufflet qui se dilate de $4mm$ en $3ms.$
La temp\’erature et la pression sont mesur\’es et la densit\’e de tourbillons est mesur\’ee indirectement par att\’enuation du second son.
Le second son est une onde dans laquelle les densit\’es $\rho_n$ (fluide normal) et $\rho_s$ (superfluide) oscillent en opposition de phase, de sorte que leur somme reste constante.

Bien que l’exp\’erience de Lancaster a soutenu le sc\’enario de Zurek, il reste des probl\`emes non r\’esolus.
L’apparition des tourbillons lors des decompressions rapides dans la phase superfluide, mais juste en-dessous de la transition, est mal comprise et mal expliqu\’ee.
On appelle ce ph\’enom\`ene les tourbillons sous-critiques (sous-$T_c$), car ils apparaissent dans une r\’egion du diagramme de phase ou on ne s’attend pas \`a observer la production de tourbillons.
Les id\’ees pr\’esent\’ees dans le but de r\’esoudre cette \’enigme des tourbillons sous-critiques devraient \^etre v\’erifi\’ees par de nouvelles exp\’eriences (modifications sur l’exp\’erience \`a Lancaster, exp\’erience semblable \`a Helsinki avec ${}^3 He$).

La premi\`ere id\’ee \’etait que la forme m\^eme des parois du soufflet \’etait responsable de la turbulence pendant la d\’ecompression.
La deuxi\`eme id\’ee \’etait que les fluctuations thermiques de $\phi$ provoquaient les tourbillons sous-critiques ; malheureusement cette id\’ee fournissait des valeurs miniscules pour la densit\’e des d\’efauts.
La troisi\`eme id\’ee, et la plus r\’ecente\footnote{Gill, A. J., Kibble, T.W.B., {\it J. Phys. A: Math. Gen.} {\bf 29}, 4289-4305 (1996)}, est celle des jets du superfluide dans la cellule de l’exp\’erience.
Le capillaire qu’on utilise pour remplir la cellule de superfluide doit \^etre long pour assurer l’isolation thermique.
Il poss\`ede une valve au bout.
Le changement brusque de la pression provoque un jet de fluide du capillaire dans l’\'echantillon.
Les fluctuations thermiques \`a leur tour sont amplifi\’ees par le jet, produisant les tourbillons sous-critiques.

\section{Mod\`ele de Ginzburg-Landau pour ${}^4He$}
\indent
L’ h\’elium 4 subit une transition de phase \`a la temp\’erature de $T_c=2.18 K$ \cite{Feynman:1972}.
C’est une transition de deuxi\`eme ordre aussi appel\’e transition $\lambda$, en raison de l’allure la courbe de la chaleur sp\’ecifique $c_p$ autour de $T_c$.
Les propri\’et\’es de HeII sont assez \’etonnantes. La conductivit\’e thermique est infinie, la viscosit\’e est nulle, le liquide ne se condense pas (mais il s’\'evapore), il grimpe les parois d’un capillaire de diam\`etre d\’efini, etc.
Pour construire un mod\`ele du superfluide, on utilise la th\’eorie de Ginzburg-Landau des transitions de phase que l’on applique \`a la transition $\lambda$.

Le potentiel est donn\’e par
\begin{equation}V(\phi,T)=\alpha |\phi|^2 + {\beta \over 2}|\phi|^4,\end{equation} ou $\beta=const.$ et
\begin{equation}|\alpha|={{\hbar}^2 \over {2m \xi^2}},\end{equation} avec $\xi=\frac{\xi_0}{|{\varepsilon}|^{\nu}},\,{\varepsilon}=1-{T \over {T_c}}.$
Dans notre cas on choisit $\nu=0.5.$
La variable $\xi$ est la longueur de corr\’elation dans le champ complexe $\phi.$
L’allure de $V(\phi,T)$ est un chapeau mexicain.

\centerline{\includegraphics[width=14cm]{bouteille}}
\centerline{\caption{Fig. 2 La forme de $V(\phi,T < T_c),$ et le champ d’un d\’efaut.}}

Les minima sont calcul\’es \`a partir du minimum de $V(\phi,T)$, $${{\partial V(\phi,T)} \over {\partial |\phi|^2 }}=0, \, \rightarrow \sigma=\sqrt{|\alpha| \over \beta}.$$
A l’\'equilibre thermique $\langle |\phi|^2 \rangle=\phi_0=\sigma.$

La propri\’et\’e qui nous permet de faire des comparaisons entre les transitions de phases dans l’univers primordial (hautes \’energies) et les ph\’enom\`enes dans les syst\`emes en mati\`ere condens\’ee est la propri\’et\’e math\’ematique que ces deux syst\`emes ont en commun: le comportement du param\`etre d’ordre autour de $T_c.$\footnote{Rappelons nous que le champ $\phi$ est aussi appel\’e le “param\`etre d’ ordre”.}

Dans la th\’eorie g\’en\’erale des transitions des phases du deuxi\`eme ordre, $\phi$ caract\’erise les propri\’et\’es de sym\’etrie du syst\`eme.
Donc, dans notre cas le param\`etre d’ordre $\phi$ est souvent consid\’er\’e comme \’etant la fonction d’onde du condens\’e de Bose:
$$\phi=\rho e^{i \theta}.$$
Le m\’ecanisme de Kibble concerne le champ de Higgs $\Phi,$ qui est l’analogue \`a l’\'echelle cosmologique du param\`etre d’ordre $\phi.$

Le lagrangien pour $\phi$ s’obtient en ajoutant des termes cin\’etiques aux termes de l’ \’energie potentielle:
\begin{equation}{\cal L}={{\hbar}^2 \over {2m}} ( {\bf {\nabla}} \phi^*) ({\bf {\nabla}} \phi)-(\alpha |\phi|^2 + \frac{\beta}{2} |\phi|^4),\end{equation}
ou $m$ est la masse de ${}^4He$. La densit\’e du superfluide \’etant donn\’ee par $\rho_s= m |\phi|^2 .$

Les \’equations de Euler-Lagrange nous fournissent les \’equations de mouvements pour $\phi$:
\begin{equation}{{\partial {\cal L}} \over \partial \phi} – {\bf {\nabla}} ({{\partial {\cal L}} \over {\partial {\bf {\nabla}} \phi}})=0.\end{equation}
Ceci donne comme r\’esultat
$${{\partial {\cal L}}\over \partial \phi}=\alpha \phi + \beta |\phi|^2 \phi $$ et $${\bf {\nabla}} {{\partial {\cal L}} \over {{\bf {\nabla}} \phi}}={{\hbar}^2 \over 2m } \nabla^2 \phi.$$
L’\'equation obtenue est:
\begin{equation}{-{\hbar}^2 \over 2m} \nabla^2 \phi + (\alpha + \beta |\phi|^2 )\phi=0,\end{equation} que l’on peut aussi \’ecrire
\begin{equation}{-{\hbar}^2 \over 2m} \nabla^2 \phi + {{\partial V(\phi,T)} \over {\partial |\phi|^2 }} \phi=0.\end{equation}

Une propri\’et\’e du ${}^4He$ au dessous de $T_c$ est que dans certaines r\’egions, coexiste un m\’elange d’\'etat normal (HeI) et superfluide (HeII).
Ceci donne lieu \`a un mouvement dans la partie superfluide; plus pr\’ecis\’ement, d\^u au fait que la phase $\theta$ change dans la partie superfluide, on a une vitesse $v_s={\hbar \over m} {\bf \nabla}\theta,$ avec \’energie cin\’etique du tourbillon $T={1 \over 2} \rho_s v_s^2.$
On peut aussi dire que le terme $\nabla^2 \phi$ fait en sorte de “bouger” le champ pour maintenir $\theta$ constant.

\section{Le comptage des d\’efauts}
\indent

L’approximation du champ moyen (Gaussien ou Hartree)nous donne que
$$\phi^3=|\phi|^2 \phi=3\langle |\phi|^2 \rangle \phi=-3 \alpha \beta^{-1} \phi.$$
L’\'equation du mouvement s’\'ecrit donc:
$$-{{\hbar}^2 \over 2m} \nabla^2 \phi +\alpha \phi +\beta (-3 \alpha \beta^{-1}) \phi = 0,$$
ou bien
$$(-\nabla^2 + {{4 m \alpha} \over \hbar^2}) \phi = 0.$$
On pose que
\begin{equation}\lambda^2={{4 m \alpha} \over \hbar^2}\end{equation}
et on obtient une \’equation aux valeurs propres
\begin{equation}\nabla^2 \phi = \lambda^2 \phi.\end{equation}
La densit\’e des cordes en champ Gaussien est donn\’ee comme
\begin{equation} \langle n \rangle=\frac{1}{2 \pi} \left| \frac{G^{\prime \prime}(r=0)}{G(r=0)} \right| \end{equation}
ou $G(r)$ est la solution de l’\'equation aux valeurs propres.
La fonction de Green $G(r)$ s’obtient en calculant la transform\’ee de la fonction de Green, ${\widehat G}(k)$.
Pour faire ceci on fait subir \’a l’\'equation aux valeurs propres une transform\’ee de Fourrier:
\begin{equation}{1 \over ({\sqrt{2 \pi}})^3} \int_{-\infty}^{+\infty} (\nabla^2 \phi ({\bf {r}}))e^{i {\bf {k}} \, {\bf {r}}} d^3x = {\lambda^2 \over (\sqrt{2 \pi})^3} \int_{-\infty}^{\infty} \phi ({\bf {r}})e^{i {\bf {k}} {\bf {r}}} d^3x.\end{equation}
L’int\’egrale \`a droite de l’\'egalit\’e est simplement ${\widehat \phi} ({\bf k}).$

Pour calculer la partie gauche on \’etudie d’abord l’analogue en une dimension:
$${1 \over {\sqrt{2 \pi}}}\int_{-\infty}^{+\infty}{{d^2 \phi (x)} \over {dx^2}}e^{i k x}dx=\left[ {{d \phi (x)} \over {dx}} - ik \phi (x) \right]e^{i k x}\Bigg |_{-\infty}^{+\infty} -k^2 {\widehat \phi}(k)$$

La fonction $\phi(x)$ est \`a d\’ecroissance rapide, donc les premiers termes s’annulent aux bords (\`a $\pm \infty$), ce qui ne laisse que le terme $-k^2 {\widehat \phi}(k).$

Dans le cas tridimensionnel l’\'equation (10) devient:
$$-{\bf k}^2 {\widehat \phi}({\bf k})=\lambda^2 {\widehat \phi}({\bf k})$$
$$({\bf k}^2+\lambda^2){\widehat \phi}({\bf k})=0.$$
En termes de fonctions de Green:
$$(-\nabla^2 + \lambda^2)G(\bf{r})=\delta(\bf{r})$$
$$({\bf k}^2+\lambda^2){\widehat G}({\bf k})=1$$

La fonction de Green,
\begin{equation}{\widehat G}({\bf k})={1 \over {{\bf{k}}^2+\lambda^2}},\end{equation} nous donne,
\begin{equation}G({\bf {r}})={1 \over ({\sqrt{2 \pi}})^3} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{- i {\bf {k}} {\bf {r}}}}{{\bf {k}}^2+\lambda^2} d^3k.\end{equation}

Pour calculer cette int\’egrale on utilise la sym\’etrie du vecteur ${\bf k}$ (une fois ${\bf r}$ fix\’e le long de l’axe z) pour d\’eduire que:
$$G(r)={1 \over ({\sqrt{2 \pi}})^3} \int_{0}^{\infty} \int_0^{2 \pi} \int_0^{\pi} {e^{- i k r \cos \theta} \over {k^2+\lambda^2}}k^2 \sin \theta \, d\theta \, d\varphi \, dk ,$$
$$G(r)={1 \over {\sqrt{2 \pi}}} \int_{0}^{\infty}{k^2 \over {k^2+\lambda^2}}\left[ \int_0^{\pi} e^{- i k r \cos \theta}d(\cos\theta) \right]dk,$$
$$G(r)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\frac{2}r \int_{0}^{\infty}{k \over {k^2+\lambda^2}}\sin(kr)dk.$$
Cette int\’egrale est donn\’ee dans les tables \cite{Abram:1972} comme \’egale \`a:
\begin{equation}G(r)={\sqrt{\frac{\pi}{2}}}{e^{-\lambda r} \over r}.\end{equation}

Pour trouver la densit\’e de d\’efauts on calcule la deuxi\`eme d\’eriv\’ee,
$$G^{\prime}(r)=-\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{e^{-\lambda r}}{r}(\lambda + \frac{1}{r}),$$
$$G^{\prime \prime}(r)= \sqrt{\frac{\pi}{2}}\left[ \frac{e^{-\lambda r}}{r} (\lambda^2 + {{2 \lambda} \over r^2} + {2 \over r^3})\right].$$

On obtient donc la solution pour cette densit\’e de cordes:
\begin{equation}\langle n \rangle=\frac{1}{2 \pi} \left| \frac{G^{\prime \prime}(r=0)}{G(r=0)} \right|={\frac{1}{2 \pi}} \left({\lambda^2+{{2 \lambda^2} \over r} +{{2 \lambda} \over r^2} }\right ) \Bigg | _{r=0} .\end{equation}
Il est \’evident que les deux derniers termes divergent en $r=0.$
Il s’agit de discuter plus en d\’etail ce probl\`eme de divergence.

En faisant une simple analogie avec la m\’et\’eorologie, on peut comparer notre \’echantillon de ${}^4 He$ qui subit une transition de phase avec formation de tourbillons dans un cyclone tropical.
Dans ces cyclones une importante masse nuageuse se forme en bandes spirales enroul\’ees autour d’un centre: l’oeil du cyclone.
Les propri\’et\’es (dynamiques et thermodynamiques) des cyclones sont distribu\’ees asym\’etriqument autour du tourbillon central et ceci provoque un mouvement tourbillonnaire de l’air.
L’oeil peut \^etre compar\’e \`a notre corde.
A l’int\’erieur de la masse nuageuse on peut avoir des mini-cyclones (structures qui, sur une \’echelle plus petite, imitent le cyclone entier) qui apparaissent et disparaissent.
Remarquons que sur les photos satellites, dont l’\'echelle est la longueur de coh\’erence de structures, on n’observe qu’une grande formation, le cyclone lui-m\^eme, et pas les petits mini-cyclones.

Autrement dit, pour pouvoir calculer une densit\’e de cordes valable par \’el\’ement de volume ($k^2 \sin \theta \, d\theta \, d\varphi \, dk $) on doit tenir compte de la longueur de coh\’erence des structures.
Il faut n\’egliger les structures plus petites que la longueur de corr\’elation $\xi$; on pr\’ef\`ere ne compter que les tourbillons coh\’erents qui persistent, et non pas les fluctuations de petite \’echelle.
Dans notre int\’egrale ceci veut dire que les valeurs de k ne doivent pas \^etre trop grandes, donc $k < \frac{1}{\xi}.$
Math\’ematiquement ceci veut dire que l’\'el\’ement de volume augmente avec les valeurs de $k$ grandes.

Il faut donc consid\’erer une nouvelle approche. On va d’abord discuter du caract\`ere de cette int\’egrale.
Au lieu de calculer analytiquement $G(r)$ pour ensuite ins\’erer le r\’esultat dans la formule pour $\langle n \rangle$, on ins\`ere directement l’int\’egrale dans la formule en faisant tendre $r$ vers $0$:
$$G(r=0)=\lim_{r \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\frac{2}r \int_{0}^{\infty}{k \over {k^2+\lambda^2}}\sin(kr)dk.$$

Il faut encore introduire la notion du “smoothing”, une fonction qui va limiter les valeurs de $k$ \`a des valeurs qui ne d\’epassent pas $k < \frac{1}{\xi}.$
La question se pose: comment faire un “smoothing” satisfaisant? On essaye avec une fonction exponentielle de carr\’e d\’ecroissante (gaussienne), $e^{-(k \xi)^2}$:
$$\tilde{G}(r=0)_{k<\frac{1}\xi}=\lim_{r \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\frac{2}r \int_{0}^{\infty}{k \over {k^2+\lambda^2}}\sin(kr)e^{-(k \xi)^2}dk.$$
Ceci va nous donner l’expression suivante pour la densit\’e des d\’efauts:
$$\langle n \rangle={\Bigg |} \frac{\lim_{r \rightarrow 0} {\frac{d^2}{dr^2}} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\frac{2}r \int_{0}^{\infty}{k \over {k^2+\lambda^2}}\sin(kr)e^{-(k \xi)^2}dk }{ \lim_{r \rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\frac{2}r \int_{0}^{\infty}{k \over {k^2+\lambda^2}}\sin(kr)e^{-(k \xi)^2}dk} {\Bigg |}.$$
Pour r\’esoudre notre int\’egrale on utilise des m\’ethodes de l’analyse complexe.\footnote{c.f. appendice.}
Tout d’abord on remarque que le num\’erateur est compos\’e de deux fonctions impaires ($k$ et $sin(k r)$) et d’une fonction paire $e^{-(k \xi)^2}$.
Le num\’erateur est donc pair et on peut \’ecrire:
$$\int_{0}^{\infty}{k \over {k^2+\lambda^2}}\sin(kr)e^{-(k \xi)^2}dk = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}{k \over {k^2+\lambda^2}}\sin(kr)e^{-(k \xi)^2}dk.$$

D\’efinissons
$$f(z)=\frac{z e^{i r z} e^{(-\xi z)^2}}{(z+i \lambda)(z-i \lambda)},$$ avec $z=R e^{i \phi},$ un nombre complexe.
A la fin des calculs on ne prend que la partie imaginaire du r\’esultat car $e^{i r z}=\cos(r z)+i\sin(r z).$

On applique \`a pr\’esent ces m\’ethodes \`a notre int\’egrale, qui est maintenant de la forme:
$$I_C= \frac{1}{2} \int_C \frac{z e^{i r z} e^{(-\xi z)^2}}{(z+i \lambda)(z-i \lambda)}\,dz.$$
Le contour $C$ qu’on choisi est le demi-cercle sup\’erieur $\gamma$ (qui entoure la singularit\’e $z_0=i\lambda$) et l’axe $x$ de $-R$ \`a $R$. On va nommer ces deux int\’egrales $I_\gamma$ et $I_R.$

$$I_C=I_R+I_\gamma=\frac{1}{2} \int_C \frac{z e^{i r z} e^{(-\xi z)^2}}{(z+i \lambda)(z-i \lambda)}\,dz.$$

$I_C=\frac{1}{2} 2 \pi i Res (f,z_0=i \lambda)$ par le th\’eor\`eme des r\’esidus.

$$Res (f,z_0=i \lambda)=\lim_{z \rightarrow i\lambda} (z-i\lambda)\frac{z e^{i r z} e^{(-\xi z)^2}}{(z+i \lambda)(z-i \lambda)}=\frac{1}{2}e^{\lambda r} e^{(\lambda \xi)^2}.$$
Donc,
$$I_C=i \frac{\pi}{2} e^{-\lambda r} e^{(\lambda \xi)^2}.$$

Le calcul de $I_R$ est simple maintenant; il suffit de montrer que $I_\gamma$ tend vers $0$ pour $\pm R \rightarrow \infty,$ ce qu’on d\’emontre dans l’appendice avec l’aide du lemme de Jordan.

Voil\`a nous sommes arriv\’es \`a notre r\’esultat pour la fonction de Green “lisse” (“smooth”):
$$\tilde{G}(r)=\frac{\pi}{2} e^{-\lambda r} e^{(\lambda \xi)^2}.$$
Avec cette nouvelle valeur pour $G(r)$ qu’on a not\’e $\tilde{G}(r)$, on refait le calcul pour la densit\’e des d\’efauts.
$$\tilde{G}^{\prime \prime}(r)={\lambda}^2 \tilde{G}(r),$$
$$\langle n \rangle=\frac{1}{2 \pi} {\Bigg |} \frac{\tilde{G}^{\prime \prime}(r=0)}{\tilde{G}(r=0)} {\Bigg |} =\frac{1}{2 \pi}{\Bigg |}\lambda^2 \frac{\frac{\pi}{2} e^{-\lambda r} e^{(\lambda \xi)^2}}{\frac{\pi}{2} e^{-\lambda r} e^{(\lambda \xi)^2}} {\Bigg|}=\frac{1}{2 \pi} |\lambda^2|.$$

Quelle surprise! C’est en fait le seul terme non-divergent dans notre \’equation pr\’ec\’edente. Les termes en $\frac{1}{r}$ et $\frac{1}{r^2}$ ont disparu.
$$\langle n \rangle=\frac{1}{\pi \xi_0^2} {\Bigg|} 1-\frac{T}{T_c} {\Bigg|}=\frac{1}{\pi \xi_0^2}|\epsilon|.$$
Si on prend $\xi_0=5,6$ \AA , $\epsilon_Z=3 \times10^{-3}$ (la valeur \`a $T_Z$ obtenue par le groupe de Lancaster) et $\pi=3.14$ la valeur approximative est
$$\langle n \rangle \simeq 10^{15}\,\,m^{-2},$$
ce qui donne un d\’efaut par $10^{-15}\,\,m^2.$
La prediction de Kibble \’etait
$$\langle n \rangle=\frac{1}{\xi_0^2}$$ ce qui diff\`ere de notre valeur \`a $T=0K$ de $\frac{1}{\pi}.$
La limite inf\’erieure obtenue par le groupe de Lancaster est:
$$\langle n \rangle \geq 10^{11}\,\,m^{-2}.$$

\section{Corr\’elation des d\’efauts}
\indent
Les fonctions de corr\’elation de la densit\’e de d\’efauts peuvent nous donner des informations sur la longueur des tourbillons sous-critiques.
Plus pr\’ecisement, selon le m\’ecanisme de Kibble, les tourbillons sous-critiques peuvent \^etre g\’en\’er\’es apr\`es des fluctuations thermiques.
Les r\’esultats de nos calculs doivent nous dissuader de cette id\’ee car l’exp\’erience de Lancaster montre que l’existence des d\’efauts d’une grande longueur est peu probable dans les r\’egions sous-critiques, donc ce ne sont pas les fluctuations thermiques qui sont \`a la base des tourbillons sous-critiques.

Les \’el\’ements de matrice de la fonction de corr\’elation sont donn\’e par l’expression suivante:
\begin{equation}G_{i\,j}({\bf {r}},t)=<n_i({\bf {r}})\,n_j({\bf {r}})>_t=G_L({\bf{r}},t){\bf {r}}_i{\bf {r}}_j+G_T({\bf {r}},t)(\delta_{i\,j}-{\bf {r}}_i{\bf {r}}_j)\end{equation}
Les deux termes $G_L$ (corr\’elations longitudinales) et $G_T$ (corr\’elations transversales) sont calcul\’e \`a partir d’une fonction $h$ telle que,
$$h(r)=-\frac{1}{2 \pi} \frac{\tilde{G}^{\prime}(r)}{\sqrt{\tilde{G}^2(0)-\tilde{G}^2}}=\frac{\lambda}{2 \pi} \frac{e^{-\lambda r}}{\sqrt{1^-e^{-\lambda r}}},$$
$$\tilde{G}(0)=\frac{\pi}{2} e^{(\lambda \xi)^2}=C(T).$$
$$\tilde{G}^\prime(r)=-\lambda \tilde{G}(r).$$

Les r\’esultats pour nos composantes longitudinales et transversales de la fonction de corr\’elation en deux points sont donn\’es ci-dessous.
$$G_L(r)=n
!
{\Bigg (} \frac{h}{r} {\Bigg )}^n =
\frac{\lambda^2} {2 \pi ^2 r^2} \frac{e^{-2 \lambda r}} {1-e^{-2\lambda r}},$$
$$G_T(r)=n ! {\Bigg (} \frac{h}{r} {\Bigg )}^{n-1} \frac{\partial h}{\partial r}=-\frac{\lambda^3}{2 \pi ^2 r}\frac{e^{-2 \lambda r}}{(1-e^{-2 \lambda r})^2}.$$
$G_L$ nous donne la longueur caract\’eristique des segments lin\’eaires des tourbillons. Une valeur n\’egative de $G_L$ indique la pr\’esence d’une paire de tourbillon-antitourbillon \`a une distance $r$ l’un de l’autre.
$G_T$ nous donne la probabilit\’e qu’il existe un tourbillon (ou antitourbillon) dans la m\^eme direction \`a une distance $r.$
Il faut tout de suite remarquer que toute valeur de $G_L$ et $G_T$ calcul\’ee pour $r<\xi$ ne devrait pas \^etre prise en compte, pour la m\^eme raison qu’auparavant.\footnote{c.f. page 9.}

Pour mieux comprendre l’utilit\’e de ces fonctions de corr\’elation, il suffit de remarquer que si on divise $G_T$ par $\langle n \rangle^2$ on obtient la probabilit\’e de trouver un autre tourbillon \`a la distance $r.$ Celle-ci est de signe n\’egatif, ce qui signifie un antitourbillon (un tourbillon avec une rotation en sens inverse).
$$P(tourbillon,r)=-\frac{\lambda^3}{2 \pi ^2 r}\frac{e^{-2 \lambda r}}{(1-e^{-2 \lambda r})^2}\, \frac{4 \pi^2}{\lambda^4}=-\frac{2 e^{-2 \lambda r}}{\lambda r (1-e^{-2\lambda r})^2}.$$

La probabilit\’e de trouver un tourbillon par longueur de corr\’elation $\xi$ est donn\’ee dans l’estimation suivante (${\xi}^2=\frac{2}{\lambda^2}$):
$$P(tourbillon, r=\xi)=-\frac{2 e^{-2\sqrt{2}}}{\sqrt{2}(1-e^{-2\sqrt{2}})^2} \approx -0.1$$
La densit\’e de d\’efauts n’est donc pas tr\`es grande, car il n’existe que des tourbillons de la dimension de la longeur de corr\’elation, et il n’appara\^{\i}t qu’un tourbillon par trois domaines de taille $\xi.$

Pour calculer la probabilit\’e de l’\'echelle \`a laquelle les tourbillons d\’evient, on divise $G_L$ par $\langle n \rangle^2:$
$$P(deviation)\approx 1.$$
Le tourbillon d\’evie sur une \’echelle de la dimension $\xi(T).$

De ces r\’esultats, on peut conclure que la production de tourbillons lors d’une d\’ecompression dans une r\’egion l\’eg\`erement en-dessous de la transition (sous-critique) n’est pas d\^ue \`a des effets de fluctuation thermique. La densit\’e de tourbillons produits par les fluctuations thermiques serait inferieure \`a la densit\’e observ\’ee. Le fait que la longueur caract\’eristique des tourbillons est de l’ordre $\xi$ nous indique qu’il n y a plus d’enchev\`etrement des tourbillons. C’est, en revanche, des petits boucles qui sont present. Un autre m\’ecanisme de cr\’eation de d\’efauts est \`a la base de ce ph\’enom\`ene.

\section{Conclusion}
\indent

Le calcul de la densit\’e des d\’efauts topologiques dans un syst\`eme en phase condens\’ee nous permettra de mieux comprendre la formation de cordes cosmiques dans l’univers primordial.
Dans notre approche, on a consid\’er\’e une transition de phase de deuxi\`eme ordre associ\’e \`a une brisure de sym\’etrie du groupe $U(1)$, avec comme r\’esultat la formation de d\’efauts topologiques.
Notre int\’er\^et principal a \’et\’e port\’e sur la question de la densit\’e initiale des d\’efauts parce que celle-ci nous donne les informations cruciales sur le comportement du param\`etre d’ordre dans une transition de phase.

Selon le sc\’enario de Zurek, qui a propos\’e des exp\’eriences dans le ${}^4He$ superfluide, l’\'echelle caract\’eristique qui d\’etermine la densit\’e de d\’efauts est fix\’ee \`a l’instant du ralentissement de l’adaptation du champ \`a des nouveaux param\`etres thermodynamiques lors du passage \`a travers la r\’egion de la transition. Pour simplifier nos calculs on a fait la supposition de l’\'equilibre thermique, bien que le syst\`eme est en fait hors-\’equilibre.

L’experience de Lancaster a soutenu le sc\’enario de Zurek, mais elle met \’egalemment en \’evidence des probl\`emes suppl\’ementaires qui ne rentrent pas dans le cadre de l’hypoth\`ese de Zurek. Les tourbillons sous-critiques, produits dans les d\’ecompressions rapides juste en-dessous de la r\’egion de la transition ne peuvent pas \^etre d\’ecrits seulement par des fluctuations thermiques. On a d\’emontr\’e ceci par des calculs de la densit\’e et des fonctions de corr\’elation \`a deux points.

L’hypoth\`ese d’un jet de superfluide provenant du capillaire qui remplit l’enceinte de la cellule de l’exp\’erience peut nous fournir une explication satisfaisante \`a cette non-ad\’equation compl\`ete. Des modifications ont \’et\’e \’effectu\’ee sur la cellule de l’exp\’erience \`a Lancaster et il se peut qu’un nouvel essai puisse supprimer l’effet n\’efaste de ce d\’efaut exp\’erimental.

La densit\’e spatiale des tourbillons d\’eduite de l’exp\’erience \`a Lancaster a confirm\’e la pr\’ediction de Zurek sur la densit\’e initiale des cordes cosmiques. Cependant, la confirmation exp\’erimentale du m\’ecanisme qui cr\’ee des d\’efauts topologiques ne suffit pas \`a montrer que les cordes cosmiques existent. Pour cela, il faudra les d\’etecter dans l’Univers, par exemple en observant des discontinuit\’es lin\’eaires dans le rayonnement de fond cosmologique, ou en observant les variations de la p\’eriode de pulsars milisecondes d\^ues au rayonnement gravitationnel \’emis par des cordes cosmiques.

\newpage

\section*{Appendice~\cite{Fisher:1990}}

\underline{Th\’eor\`eme des r\’esidus}

Soit f une fonction analytique sur une r\’egion simplement connexe $D$, sauf un nombre fini de singularit\’es $z_1,z_2,…,z_n$ sur $D.$ Si $C$ est une courbe simplement connexe et continue par morceaux dans $D$ et qui ne passe pas par les singularit\’es isol\’ees (p\^oles) $z_1,z_2,…,z_n$ alors,
$$\int_C f(z)\,dz= 2 \pi i \sum_{z_0 \epsilon I(C)}Res (f,z_0).$$

\noindent
\underline{Les s\’eries de Laurent}

Une fonction analytique peut \^etre repr\’esent\’ee par une s\’erie de Laurent,
$$f(z)=\sum_{i=-\infty}^{\infty}a_i (z-z_0)^i,$$ sur un anneau $r$<$|z-z_0|$<$R$.

La partie principale est donn\’e par $\sum_{i=-\infty}^{-1}a_i (z-z_0)^i$ et le r\’esidu \`a $z_0$ est \’egal \`a $a_{-1}.$
$$f(z)=\frac{a_{-m}}{(z-z_0)^m}+…+\frac{a_{-1}}{(z-z_0)}+a_0+a_1(z-z_0)+…,$$
s\’erie de Laurent pour $f(z)$ avec m p\^oles. Une formule assez g\’en\’erale pour le calcul des r\’esidus (d’ordre m) est
$$Res(f,z_0)=\lim_{z \rightarrow z_0} (z-z_0)^m f(z).$$
($I(C)$ est int\’erieur de la courbe. $Res (f,z_0)$ sont les r\’esidus au p\^ole $z_0$ de $f.$)\\

\noindent
\underline{Lemme de Jordan}
$$I_\gamma=\int_{0}^{\pi} f(R e^{i \phi})R e^{i \phi} \, d\phi,$$
$${\Bigg |} \int_0^\pi f(R e^{i\phi})R e^{i\phi}\,d\phi {\Bigg |} \leq R \int_0^\pi |f(R e^{i\phi})| d\phi,$$
$${\Bigg |} \int_0^\pi f(R e^{i\phi})R e^{i\phi}\,d\phi {\Bigg |} \leq R \int_0^\pi \frac{R e^{-r R \sin(\phi)} e^{-R^2 \cos(2\phi) \xi^2}}{R^2-\lambda^2}\,d\phi \stackrel{R \rightarrow \infty}{\longrightarrow 0}.$$
Donc,
$$\lim_{R \rightarrow \infty} I_\gamma=0.$$